На 20 март американско-канадският математик Робърт Ланглендс получи наградата „Абел“, с което отбеляза постиженията в живота по математика. Изследванията на Langlands показаха как концепциите от геометрията, алгебрата и анализа могат да бъдат обединени чрез обща връзка с прости числа.
Когато кралят на Норвегия връчи наградата на Langlands през май, той ще почете най-новото в усилията за 2300 години за разбиране на прости числа, може би най-големият и най-старият набор от данни в математиката. Като математик, посветен на тази програма „Langlands“, аз съм очарован от историята на най-важните числа и от това как последните постижения изтласкват техните тайни. Защо те плениха математиците от хилядолетия?
За да изучават прайдове, математиците прецеждат цели числа през една виртуална мрежа след друга, докато останат само прайсове. Този процес на пресяване произвежда таблици с милиони прайдове през 1800-те. Това позволява на съвременните компютри да намерят милиарди прайдове за по-малко от секунда. Но основната идея за ситото не се е променила за повече от 2000 години.
„Прост номер е това, което се измерва само от единицата“, пише математик Евклид през 300 г. пр. Н. Е. Това означава, че прости числа не могат да бъдат равномерно разделени на по-малко число, освен 1. По конвенция математиците не считат 1 себе си като просто число. Евклид доказа безкрайността на прайметата - те продължават завинаги - но историята предполага, че Ератостен е този, който ни е дал ситото за бързо изброяване на прайдовете.
Ето идеята за ситото. Първо, филтрирайте кратни по 2, след това 3, след това 5, след това 7 - първите четири праймета. Ако направите това с всички числа от 2 до 100, ще останат само прости числа.
Пресяването на кратки от 2, 3, 5 и 7 оставя само прайметата между 1 и 100. (с любезното съдействие на MH Weissman) С осем етапа на филтриране човек може да изолира праймерите до 400. С 168 филтриращи стъпки човек може да изолира праймерите до 1 милион. Това е силата на ситото на Ератостен.
**********
Една ранна фигура в табличните таблици е Джон Пел, английски математик, който се посвети на създаването на таблици с полезни числа. Той беше мотивиран да разрешава древни аритметични проблеми на Диофантос, но и чрез личен стремеж да организира математически истини. Благодарение на неговите усилия праймерите до 100 000 са били широко разпространени от началото на 1700 година. Към 1800 г. независимите проекти са събрали примера до 1 милион.
За да автоматизира досадните стъпки на обсаждане, немски математик на име Карл Фридрих Хинденбург използва регулируеми плъзгачи, за да отпечата кратки на цяла страница на таблицата наведнъж. Друг нискотехнологичен, но ефективен подход използва шаблон за разположение на кратните. Към средата на 1800 г. математикът Якоб Кулик е предприел амбициозен проект, за да намери всички прайси до 100 милиона.
Шаблон, използван от Кулик за пресяване на кратните 37. AÖAW, Nachlass Kulik ((Любезност на изображението на Denis Roegel, предоставен от автора) Тези „големи данни“ от 1800-те години може би са служили само като ориентировъчна таблица, ако Карл Фридрих Гаус не беше решил да анализира прайдовете заради себе си. Въоръжен със списък на прайметата до 3 милиона, Гаус започна да ги брои едно време, една „чилиада“ или група от 1000 единици наведнъж. Той брои примите до 1000, след това прайдовете между 1000 и 2000, след това между 2000 и 3000 и така нататък.
Гаус открил, че докато преброи по-високо, праймите постепенно стават по-редки според закона за „обратния лог“. Законът на Гаус не показва точно колко прайдове има, но дава доста добра оценка. Например, законът му предвижда 72 примера между 1 000 000 и 1 001 000. Правилният брой е 75 прайма, около 4 процента грешка.
Столетие след първите проучвания на Гаус, неговият закон е доказан в „теоремата на простото число“. Процентната грешка се доближава до нула при по-големи и по-големи диапазони на прайсите. Хипотезата на Риман, проблем с награда за милион долара днес, също описва колко точно е оценката на Гаус.
Теоремата за простото число и хипотезата на Риман привличат вниманието и парите, но и двете следват при по-ранен, по-малко бляскав анализ на данни.
.....
Днес нашите набори от данни идват от компютърни програми, а не от ръчно изрязани шаблони, но математиците все още намират нови модели в прайдове.
С изключение на 2 и 5, всички прости числа завършват в цифра 1, 3, 7 или 9. През 1800 г. е доказано, че тези възможни последни цифри са еднакво чести. С други думи, ако погледнете праймерите до милион, около 25 процента завършват в 1, 25 процента в 3, 25 процента в 7, а 25 процента в 9.
Преди няколко години теоретиците на броя на Станфорд Лемке Оливър и Канан Саундарараджан бяха хванати от охрана от странности в крайните цифри на прайметата. Експеримент разгледа последната цифра от премиера, както и последната цифра от следващия премиер. Например, следващият премиер след 23 е 29: Човек вижда 3, а след това 9 в последните си цифри. Вижда ли 3 след 9 по-често от 3 след 7 сред последните цифри на праймите?
Честота на двойки с последна цифра, сред последователните основни числа до 100 милиона. Съответстващите цветове съответстват на съвпадащите пропуски. (MH Weissman, CC BY) Теоретиците на броя очакваха известна промяна, но това, което намериха, надхвърли очакванията. Примите са разделени от различни пропуски; например 23 е на шест числа от 29. Но 3-след-9 прайми като 23 и 29 са много по-често срещани от 7-тогава-3 прайми, въпреки че и двете идват от шест разлики.
Математиците скоро намериха правдоподобно обяснение. Но що се отнася до изучаването на последователни прайдове, математиците са (предимно) ограничени до анализ и убеждаване на данни. Доказателствата - златният стандарт на математиците за обяснение защо нещата са истина - изглеждат десетилетия далеч.
Тази статия първоначално е публикувана в The Conversation.
Мартин Х. Вайсман, доцент по математика, Калифорнийския университет, Санта Крус
